Zad. 1. Trapez prostokątny podzielono dwiema prostymi równoległymi do podstaw na trzy trapezy o jednakowych wysokościach i polach równych odpowiednio 1, 2 i 3. Oblicz stosunek długości podstaw wyjściowego trapezu.
Zad. 2. Czy istnieje wielościan mający tyle samo krawędzi co przekątnych? Jeśli tak, podaj przykład. Jeśli nie, uzasadnij dlaczego.
Zad. 3. Z pewnych dwudziestu różnych liczb całkowitych utworzono 10 par – każda o sumie 10. Uzasadnij, że wśród tych dwudziestu liczb są dwie, których różnica jest większa od 19.
W maju punkty zdobyli:
- 2,5 – Emilia Cichowska II LO Lubin, Paweł Prasal III LO Leszno, Gabriela Pułecka V LO Wrocław, Cezary Rębiś ZSE Radom, Zuzanna Czapiewska ZSB Słupsk;
- 2,25 – Miłosz Zakrzewski LO Tuchola,
- 2 – Joanna Nowakowska LO Aslan Głogów,
- 1,5 – Artur Bumażnik ZSE Jelenia Góra, Jagoda Janiś LO Góra,
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Oznaczmy podstawy otrzymanych trapezów przez x, k, l, y. Z podobieństwa trójkątów (rysunek niżej) otrzymujemy proporcje: (k–x):a = (y–x):3a oraz (y–l):a = (y–x):3a, a stąd mamy: k = x+(y–x)/3 = (2x+y)/3 i l = y–(y–x)/3 = (2y+x)/3. Z zależności między polami wynika, że 2·(x+k)/2·a = (k+l)/2·a, skad 2x = l–k. Po podstawieniu za l i k otrzymujemy 2x = (2y+x)/3–(2x+y)/3, skąd y/x=7.
Zad. 2. Oznaczmy przez n liczbę wierzchołków jednej podstawy graniastosłupa (n≥3). Wówczas liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa wynosi 3n. Z każdego wierzchołka wychodzą wyprowadzić n–3 przekątne bryły biegnące do wierzchołków przeciwległej podstawy (dlaczego?). Wszystkich przekątnych jest więc n(n–3). Zgodnie z warunkami zadania otrzymujemy równanie n(n–3) = 3n, skąd n=0 lub n=6. Ponieważ n≥3, zachodzi n=6. Graniastosłup sześciokątny ma 3·6=18 krawędzi i 6·(6–3)=18 przekątnych.
Zad. 3. Uporządkujmy dane liczby rosnąco. Rozstęp jest najmniejszy, gdy są to kolejne liczby całkowite i wynosi w tym przypadku (k+19)–k=19. Przypuśćmy, że istnieje 20 kolejnych liczb całkowitych, z których można utworzyć 10 par dających sumy 10. Oznaczmy je jako: k, k+1, k+2, …, k+19. Obliczmy sumę tych liczb na dwa sposoby. Z jednej strony jest ona równa 10·10=100, a z drugiej 20k+(1+2+3+..+19) = 20k+190. Otrzymujemy równość 20k+190 = 100, czyli k =-4,5. Otrzymana sprzeczność obala przypuszczenie. Wśród dwudziestu liczb zawsze są dwie, których różnica jest większa od 19.