Zad. 1. Ania uczęszcza do klasy sportowej liczącej 30 uczniów, wśród których 13 uczniów uprawia siatkówkę, 14 - koszykówkę, a 5 uczniów uprawia inne niż siatkówka i koszykówka dyscypliny sportowe. Ania uprawia tylko siatkówkę. Ilu uczniów, tak jak ona, uprawia tylko siatkówkę?
Zad. 2. W ciągu jednego miesiąca niedziela wypadła trzykrotnie w dniu parzystym. W jakim dniu tygodnia wypadł dwudziesty dzień tego miesiąca?
Zad. 3. Pewien wielokąt ma trzy razy więcej przekątnych niż boków? Jaki to wielokąt?
W styczniu punkty zdobyli:
- 3 – Filip Augustyniak SP 50 Wrocław, Wojciech Baczulis SP 50 Wrocław, Maja Bator SP 44 Wrocław, Adam Bąkowski SP 44 Wrocław, Florian Bialas SP 3 Dobrzeń Wielki, Krzysztof Bednarz SP Głogów Małopolski, Paulina Błasiak SP Długołęka, Cezary Bogacz SP Smolec, Maria Bogner SP Fundacji Królowej Św. Jadwigi Wrocław, Zofia Buczkowska SP 50 Wrocław Emilia Burkovtseva SP 44 Wrocław, Wiktor Bychowiec SP 16 Wrocław, Igor Bychowiec SP 16 Wrocław, Jakub Derewecki SP 50 Wrocław, Arseniia Elkina SP 16 Wrocław, Michał Filipczak SP 44 Wrocław, Agata Fudała SP 53 Wrocław, Adam Gajdzis SP 107 Wrocław, Aleksander Gajdzis SP 107 Wrocław, Anna Gil SP 44 Wrocław, Jakub Gil SP 44 Wrocław, Stanisław Góralski SP Józefów n. Wisłą, Hanna Górska SP Długołęka, Luiza Gruchalski SP Dobrzeń Wielki, Karolina Grzyb SP Płomień Katowice, Stanisław Hajgiel SP STO Warszawa, Hanna Janiec SP Kostomłoty, Gabriela Jaśkowska SP Płomień Katowice, Mateusz Jaszczyszyn SP 44 Wrocław, Paweł Jarzyński SP 13 Zielona Góra, Claudia Jończyk SP Jedlnia-Letnisko, Nadia Liszka SP 5 Myszków, Julia Kalinowska SP Długołęka, Gabriela Kapica SP Strzelce, Daria Karnitskaya SP 107 Wrocław, Filip Kaźmierczak SP 44 Wrocław, Tomasz Kisielewski SP 50 Wrocław, Szymon Kmiotek SP 15 Kraków, Laura Kogut SP 9 Gliwice, Szymon Kołodziejczyk SP Józefów n. Wisłą, Julian Kowalczyk SP Długołęka, Adam Kosarzycki SP 16 Wrocław, Eryk Kwapisz SP 44 Wrocław, Amelia Łakomiec SP 50 Wrocław, Natan Łazarewicz Szkoła w Chmurze, Amelia Marciniak SP 3 Mogilno, Anastazja Marciniak SP 3 Mogilno, Mateusz Noga SP 113 Wrocław, Małgorzata Nowakowska SP 3 Głogów, Borys Osieczko SP 8 Sopot, Adam Pająk SP Raszyn, Julia Pawlińska SP Józefów n. Wisłą, Antonina Pawliszyszyn SP Płomień Katowice, Wojciech Pira SP Długołeka, Maciej Piszko SP 50 Wrocław, Leon Płonka SP 44 Wrocław, Nina Pociecha SP 100 Warszawa, Jakub Ptak SP 22 Wrocław, Mateusz Różalski SP Józefów n. Wisłą, Dawid Rydzik SP 60 Kraków, Damian Ryś SP 16 Wrocław, Maja Samsel SP 26 Kraków, Dagmara Skulimowska SP 50 Wrocław, Zuzanna Skulimowska SP 50 Wrocław, Filip, Staszkiewicz SP 50 Wrocław Witold Stępień SP 1 Oleśnica, Piotr Strzelecki SP 50 Wrocław, Lena Szkirpan SP 50 Wrocław, Krzysztof Szymanowski SP 50 Wrocław, Maria Święs SP 60 Kraków, Adam Trznadel SP 82 Wrocław, Julian Tomczak SP 16 Wrocław, Kalina Tułacz SP 50 Wrocław, Amelia Waindok SP 3 Dobrzeń Wielki, Lena Wałazińska SP 221 Warszawa, Julian Wawer SP Pilawa, Zofia Weber SP Płomień Katowice, Zuzanna Winiarska SP 44 Wrocław, Jakub Wojciechowski SP 44 Wrocław, Kacper Wołowiec SP 50 Wrocław, Kazimierz Woźniak SP 50 Wrocław, Hanna Wójcik SP 50 Wrocław, Kacper Zambrowicz SP 44 Wrocław, Filip Zawłocki SP 100 Warszawa, Dawid Zysk SP 19 Legnica;
- 2 – Mykhailo Anufriyev SP 16 Wrocław, Mieszko Buczkowski SP 2 Ożarów Mazowiecki, Natalia Bulak SP 3 Śinawa, Piotr Celiński SP Fundacji Królowej Świętej Jadwigi, Natalia Cholidis-Gidyna SP 50 Wrocław, Weronika Grzyb SP Płomień Katowice, Damian Jaromin SP 44 Wrocław, Laura Konieczna SP 2 Plewiska, Misza Lahuta SP 44 Wrocław, Miron Możdżyński SP 20 Warszawa, Dawid Niklewicz SP 44 Wrocław, Wojciech Ożóg SP Długołęka, Marek Raszczyk SP Zawada, Kacper Rożek SP Swornegacie, Liwia Wer SP Dobrzeń Wielki, Ignacy Włodarski SP 36 Wrocław;
- 1 –Tymoteusz Libawski SP Dobrzeń Wielki, Kajetan Uramek SP 82 Wrocław, Franciszek Węgrzyn SP 44 Wrocław.
Pozostali uczestnicy otrzymali poniżej 1 punktu.
Zad. 1. Pięciu uczniów uprawia inne dyscypliny niż siatkówka i koszykówka, zatem 30–5 = 25 uczniów uprawia co najmniej jedną z tych dwóch dyscyplin. Z drugiej strony 13+14 = 27, więc dwóch uczniów uprawia obie dyscypliny. Tylko siatkówkę uprawia 13–2 = 11 uczniów.
Zad. 2. Załóżmy, że pierwsza niedziela, to drugi dzień miesiąca. Kolejne niedziele to: 2, 9, 16, 23 i 30 dzień miesiąca. Dwudziesty dzień miesiąca wypada więc w czwartek.
Zad. 3. Niech n oznacza liczbę boków, a p liczbę przekątnych szukanego wielokąta. Zauważmy, że z jednego wierzchołka możemy poprowadzić o 3 przekątne mniej niż wielokąt ma boków (dlaczego?), czyli n–3. Wszystkich wierzchołków jest n, więc jeśli policzymy przekątne poprowadzone ze wszystkich wierzchołków, będzie ich n(n–3). Kazdy z tych odcinków łączy dwa wierzchołki, więc jest liczony dwukrotnie - raz w jednym i raz w drugim wierzchołku, które łączy (np. odcinek A1A3 jest liczony raz w wierzchołku A1 i drugi raz w wierzchołku A3), zatem n(n–3) = 2p (podwojona liczba przekątnych). Z warunków zadania mamy p = 3n, czyli n(n–3) = 6n, a stąd n–3 = 6, więc n = 9. Szukany wielokąt to dziewięciokąt.
