Zagadnienia finansowe związane są bardzo często z czasem, np. zakładamy lokatę pieniężną lub bierzemy pożyczkę zawsze na jakiś z góry określony czas. Dlatego ważnym problemem jest obliczanie liczby dni pomiędzy dwiema datami oraz obliczanie, ile lat stanowi dana liczba dni. Z pozoru jest to problem oczywisty, ale jak zwykle diabeł tkwi w szczegółach.
W praktyce finansowej przyjmuje się, że pierwszy dzień (np. otwarcia lokaty) nie jest brany pod uwagę w rozliczeniu, a ostatni dzień (np. likwidacji lokaty) jest zaliczany do okresu trwania umowy. W matematyce finansowej do rozliczeń stosuje się tzw. rok bankowy. Ma on 360 dni i składa się z 12 miesięcy bankowych po 30 dni każdy. Łatwo zauważyć, że zarówno rok bankowy jak i miesiąc bankowy różnią się od swoich kalendarzowych odpowiedników. Dla odróżnienia liczby dni kalendarzowych od liczby dni bankowych będziemy stosowali odpowiednio oznaczenia dk i db. Poniższy przykład pokazuje, jak obliczać liczbę dni bankowych pomiędzy ustalonymi datami.
Przykład 1. Oblicz liczbę dni kalendarzowych i bankowych od 15 X 2015 do 11 XII 2015.
Rozwiązanie. Liczbę dni kalendarzowych obliczamy, posiłkując się kalendarzem dk = (31–15)+30+11 = 57. Obliczając liczbę dni bankowych, musimy pamiętać, że każdy miesiąc ma 30 dni, czyli db = (30–15)+30+11 = 56.
[koniec wykładu dla SP]
Z kolei liczbę lat kalendarzowych od liczby lat bankowych będziemy odróżniać, oznaczając je odpowiednio lk i lb. Wielkości te można łatwo obliczyć na podstawie podanych zależności. Jeśli daty graniczne nie zahaczają o rok przestępny, to lk = (czas w dniach)/365, a jeśli daty graniczne mieszczą się obie w obrębie roku przestępnego, to lk = (czas w dniach)/366. W przypadku gdy daty graniczne zawierają pomiędzy sobą lata zwykłe i przestępne, to lk = (czas w dniach zawarty w latach przestępnych)/366 + (czas w dniach zawarty w latach zwykłych)/365. Zawsze natomiast lb = (czas w dniach)/360. W powyższych wzorach do licznika możemy wstawić czas mierzony w dniach kalendarzowych lub w dniach bankowych, stąd otrzymujemy cztery sposoby obliczania liczby lat. Dla odróżnienia będziemy je oznaczać lk(dk), lk(db), lb(dk) i lb(db). Wartość lb(dk) ma dodatkowo swoją nazwę - jest to reguła bankowa.
Przykład 2. Oblicz liczbę lat kalendarzowych i bankowych od 15 X 2015 do 11 XII 2015.
Rozwiązanie. lk(dk) = 57/365 ≈ 0,1562, lk(db) = 56/365 ≈ 0,1534, lb(dk) = 57/360 ≈ 0,1583 i lb(db) = 56/360 ≈ 0,1556. Widać, że reguła bankowa dała największą wartość liczby lat.
Przykład 3. Oblicz lk(dk) dla okresu od 1 IV 2012 do 10 X 2014.
Rozwiązanie. Rok 2012 był przestępny, dlatego obliczenia wykonujemy następująco lk(dk) = 275/366 +(365+285)/365 ≈2,5322.
Zadanie 1. Oblicz kalendarzową i bankową liczbę dni dla kredytu wziętego 2 X 2015 i spłaconego 11 IV 2016.
Zadanie 2. O ile dni różni się czas trwania kredytu hipotecznego zawartego na 30 lat 31 XII 2001 liczony metodą bankową i kalendarzową?
Zadanie 3. Podaj przykład dat, pomiędzy którymi liczba dni kalendarzowych jest krótsza niż liczba dni bankowych.
Zadanie 1. Jeśli bank nalicza odsetki od kredytu zgodnie z liczbą dni bankowych, a klient chce pożyczyć pieniądze na 1 dzień, to w jakie dni w 2015 roku powinien wziąć kredyt?
Zadanie 2. Oblicz długość okresu od 2 X 2015 do 28 XII 2015 w latach kalendarzowych i bankowych, stosując w obu przypadkach liczbę dni kalendarzowych i dni bankowych.
Zadanie 3. Dlaczego reguła bankowa jest najkorzystniejsza dla kredytodawcy?
Zadanie 1. Oblicz długość okresu od 2 X 2015 do 21 VII 2017 w latach kalendarzowych i bankowych, stosując w obu przypadkach liczbę dni kalendarzowych i dni bankowych.
Zadanie 2. Która metoda obliczania liczby lat jest najkorzystniejsza dla wierzyciela, a która dla dłużnika? Podaj procentową różnicę uzyskanych wartości dla obu tych metod w przypadku okresu od 31 XII 2015 do 31 XII 2016.
Zadanie 3. Uszereguj rosnąco pod względem uzyskiwanych wartości cztery metody obliczania liczby lat pomiędzy zadanymi datami.
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 pkt. - Antoni Buraczewski SP 107 Wrocław, Jakub Ptak SP 64 Wrocław, Bartosz Szczerba SP 35 Szczecin, Wojciech Szwarczyński SP Kowalowa i Roman Zaborowski SP 2 Syców;
- 2,5 pkt. - Patrycja Długosz SP 44 Wrocław;
- 2 pkt. - Aleksander Kowalnik SP 2 Syców i Alicja Koźlik SP 44 Wrocław;
- 1 pkt. - Adrian Loffelmann SP 44 Wrocław, Piotr Salamon SP 44 Wrocław i Paulina Żłobińska SP 44 Wrocław.
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 pkt. - Joanna Lisiowska KZE Warszawa;
- 1 pkt. - Jakub Czerniak GM 5 Opole.
W tym miesiącu punkty zdobyli:
- 3 pkt. - Daria Bumażnik II LO Jelenia Góra, Michał Kępiński LO Żary i Tomasz Stempniak I LO Ostrów Wielkopolski;
- 2,5 pkt. - Wojciech Wiśniewski I LO Giżycko;
- 2 pkt. - Adam Pięta LO Żary i Samanta Walczak II LO Wieluń;
- 1 pkt. - Witold Barcz ZSEM Nowy Sącz i Justyna Witulska LO Szprotawa.
Zad. 1. Liczba dni kalendarzowych i bankowych to odpowiednio: dk=(31-2)+30+31+31+29+31+11=192 i db=(30-2)+30+30+30+30+30+11=189.
Zad. 2. Różnica to 157 dni, ponieważ dk=366·7+365·23=10957 (należy pamiętać o siedmiu latach przestępnych: 2004, 2008, 2012, 2016, 2020, 2024 i 2028) i db=360·30=10800.
Zad. 3. Łatwo zauważyć, że takim miesiącem jest luty, a przykład takich dat to 31 I 2015 i 28 II 2015. Wtedy dk=28 a db=30.
Zad. 1. Takie dni to: 30 I, 30 III, 30 V, 30 VII, 30 VIII, 30 X i 30 XII. Pierwszego dnia nie uwzględniamy, a następny i zarazem ostatni dzień (31) nie jest uwzględniany w metodzie liczenia dni bankowych. Wtedy kredyt trwa 0 dni, czyli nic nie kosztuje.
Zad. 2. Obliczamy dk=(31–2)+30+28=87, db=(30–2)+30+28=86, lk(dk) = 87/365 ≈ 0,2384, lk(db) = 86/365 ≈ 0,2356, lb(dk) = 87/360 ≈ 0,2417 i lb(db) = 86/360 ≈ 0,2389.
Zad. 3. Reguła bankowa w większości przypadków daje największą wartość, co wiąże się z najdłuższym okresem kredytowania. Dzieje się tak dlatego, że mianownik w regule bankowej jest najmniejszy z możliwych (360<365, 360<366), a licznik jest prawie zawsze największy. Łatwo zaobserwować, że licznik dk może być mniejszy od db tylko w lutym roku zwykłego i to maksymalnie o 2 dni. Jednak jeśli okres kredytowania jest dłuższy i zawiera w sobie co najmniej styczeń, luty i marzec roku zwykłego, to liczba dni kalendarzowych jest niemniejsza od liczby dni bankowych.
Zad. 1. Obliczamy dk=90+366+202=658, db=88+360+201=649, lk(dk) = 292/365 +1 = 1,8, lk(db) = 289/365 +360/366 ≈ 1,7754, lb(dk) = 658/360 ≈ 1,8278 i lb(db) = 649/360 ≈ 1,8028.
Zad. 2. Zazwyczaj reguła bankowa jest najkorzystniejsza dla wierzyciela, a dla dłużnika najlepsza jest lk(db) (zobacz rozwiązanie zadania GM 3). Procentowa różnica dla podanego okresu to: ( lb(dk) – lk(db) )/ lk(db) = (366/360–360/366) / (360/366) = (61/60)2–1 ≈ 0,0336 = 3,36%.
Zad. 3. Dla okresu z zadania 1 dostajemy porządek: lk(db)< lk(dk)< lb(db)< lb(dk).
Komentarz do roku bankowego
Zawracanie głowy, mataczenie i zupełnie niepotrzebne dołączanie kłopotów ludzi, zajmujących się kalendarzem, usiłujących "upchnąć" całkowitą liczbę dni w fizycznym roku, znanym z astronomii, a to się nie da, bo Ziemia nie jest połączona kołami zębatymi z orbitą, po której podąża wokół słońca. Żadną miarą nie da się w roku fizycznym umieścić całkowitej liczby obrotów Ziemi wokół swej osi.
Jakby tego było mało, banki dodatkowo mieszają także podobne kłopoty z księgowaniem okresów dłuższych niż rok. Kłopoty te są rozwiązywane różnymi sposobami i sposobikami. Jednak obiektywnie - to klient płaci za czas wypożyczenia pieniędzy na pewien okres: od jednej, początkowej daty do drugiej, będącej datą spłaty. Może najprościej byłoby wziąć stoper i zmierzyć dokładnie ten czas, tym bardziej że za każdą sekundę, no nie przesadzajmy i przyjmijmy "dokładność" bankową, czyli liczenie z "dokładnością" do dnia, zatem za każdy dzień klient płaci i nie obchodzi go, czy rok jest akurat przestępny czy nie lub problem jak zaksięgować zdarzenie o dacie miesiąca równej "31". Co to obchodzi klienta? Czyżby bank nie umiał posumować kolejnych, mijających dni, za które klient ma zapłacić? Podpowiadam - w każdym arkuszu kalkulacyjnym, od dawna, wbudowane jest liczenie dób między dwoma datami. Jako klient żądam tylko dokładnego liczenia kolejnych dni, za które płacę. Nie życzę sobie mieszania, w normalnym zliczaniu, za pomocą pojęć z innych dziedzin takich jak "złota zasada" z księgowania, rok przestępny, albo zgoła - rok obrotowy. Rok, którym posługuje się bank, przypomina nawiercane odważniki, które w pewnym okresie były bardzo popularne w handlu i podobnie jak rok "bankowy" nigdy nie wiadomo było, jaką mają wartość. Rok służący do obliczeń powinien być jednostką czasu, wobec tego powinien mieć JEDNOZNACZNE odniesienie do prawnie gwarantowanej i legalnej jednostki, jaką jest w Polsce sekunda. Ustawodawca usiłował zrobić z tym porządek, podając, że jednostka o nazwie: "rok" to okres równy 365 dni (powinno być dób po 86400 sekund każda). Co prawda podano też określenie, że rok przestępny ma 366 dni, ale nie jest to "rok" lecz "rok przestępny", zatem może mieć inną liczbę dni niż "rok", a nawet powinien. Podane są też inne przeważnie niestosowane jednostki jak "równy miesiąc" mający 30,41666 dni oraz podano nieścisłość, że rok to 12 "równych miesięcy", czyli tym razem "rok" jest równy 12 "miesiącom równym", każdy po 30,41666 dni, czyli dokładnie 364,99992 dni. Różnica spowodowana tą nieścisłością to jest około 0,16%. Na tyle mnie może oszukać bank w "świetle prawa", czyli Ustawy o kredycie konsumenckim z 12 maja 2011 r. W najprostszy sposób sprawę załatwiłoby zerwanie z nieokreślonymi jednostkami, takimi jak "rok" czy "miesiąc", tj. takimi, które nie mają odniesienia do jednostki legalnej czasu, jaką jest sekunda. Bank powinien się oprzeć na dopuszczonej prawem, czyli legalnej i stabilnej jednostce czasu, jaką jest np. doba. Oczywiście, może ją sobie nazywać kolokwialnie "dniem". Wtedy nominalna roczna procentowa stopa mogłaby być stopą nie za "rok", a za wielokrotność doby - wytrąciłoby to wszelkie możliwości mataczenia jednostkami czasu. Wtedy roczna stopa procentowa wynosząca np. 12% na"rok" byłaby jednoznacznie określona jako 12% / 365 dni, bez żadnych wątpliwości typu: gdzie i jak stosować "złotą zasadę" lub ilorazy typu "365/360" oraz "366/360".